Теорема Ферма и 380 лет на ее доказательство

Мысли и внимание ученых-математиков и самоучек на протяжении долгих лет были пленены вселяющей удивление Великой теоремой Ферма. Это непревзойденное математическое утверждение, требующее более 380 лет для окончательного доказательства, знают многие. Возбуждение вокруг нее достигло своего пика в 1908 году, когда обещали награду за ее разрешение.

Решение этой теоремы оказалось весьма сложным из-за необходимости доказать его отсутствие. Несмотря на то, что суть теоремы казалась простой, ее решение оказалось значительно труднее.

В данной статье мы рассмотрим историческое свидетельство, подтверждающее применимость всеобщей математической теоремы и её значимость в разработке новых подходов в математике. Помимо этого, мы тщательно изучим автора теоремы Ферма, а также рассмотрим время и усилия, затраченные на её доказательство.

Пьер де Ферма (1601-1665) был выдающимся французским судьей и автором самой сложной теоремы всех времен. Несмотря на отсутствие формального образования, он самостоятельно освоил юриспруденцию и занял высокую должность в местном парламенте города Кастр. Своей теоремой, которую сейчас изучают во всем мире, Ферма заслуженно прославился и оставил неизгладимый след в истории науки.

Помимо своих блестящих достижений в судебных залах, Пьер также проявлял горячий интерес к математике. Он, будучи самоучкой, мудро черпал свои знания из книг и переписки с учеными и философами того времени, такими как Декарт, Паскаль, Бернард де Бесси и многими другими. Хотя Пьер был всего лишь любителем, профессиональные математики высоко ценили его переписку и называли его «королем среди любителей». Особенно Пьер интересовался теорией чисел, которая к тому времени приобрела большую популярность во Франции, благодаря новым изданиям трудов древнегреческих математиков. Активно изучая эти труды, Ферма смог выявить основные проблемы решения множества задач, что в дальнейшем стало фундаментальным в развитии классической теории чисел.

На Пьера Ферма огромное впечатление произвела книга "Арифметика", которую он с горящими глазами изучал и прямо на страницах окаймлял свои собственные мысли, существенно повлиявшие на развитие математического мышления исследователя. В этой известной работе великий греческий математик и основатель алгебры Диофант Александрийский впервые описал натуральные числа, посвятив особое внимание числам Пифагора. Исходя из содержания "Арифметики", Ферма, решая сложные задачи с несколькими неизвестными, сумел сформулировать утверждение, ставшее знаковым - Великой теоремой Ферма, названной так в честь его гениального открытия. Однако окончательное доказательство этой теоремы было найдено лишь спустя почти четыре столетия.

Ферма внес огромный вклад в науку и развитие математики благодаря своему обращению к важности простых чисел.

Ферма не был первым, кто обсуждал натуральные числа, и его рассуждения также не были единственными. Еще в древней Шумере и Индии была известна история исчисления натуральных чисел. Однако именно Пифагор записал эти рассуждения с использованием современной математической формулы: x2 + y2 = z2. В свою очередь, Ферма расширил количество неизвестных в уравнении до xn + yn = zn.

Восстановив свой интерес к натуральным числам в начале 17 столетия, ученые и философы нашли в книге "Арифметика" Диофанта отличный источник вдохновения. Это увлекательное произведение стало популярным среди эрудированных мудрецов, которые стремились найти рациональное объяснение устройства мира, отвергая концепцию сверхъестественного. Один из таких ученых был замечательный Пьер Ферма.

Во время ознакомления с "Арифметикой" Ферму поразила мысль о возможности замены показателя степени 2 в теореме Пифагора произвольным числом. Сразу же он осознал, что решения этого утверждения не существует, и был уверен, что это можно доказать. К сожалению, из-за ограниченности свободного пространства в книге, Ферма не смог представить доказательство. На страницах второй книги, в разделе, посвященному задаче 8, он оставил лишь следующую запись:

"Кубы не могут быть разложены на два меньших куба, биквадраты - на два меньших биквадрата, и степени с одинаковым показателем - на две другие степени. Я обнаружил великолепное подтверждение этого факта, однако ограничения страницы не позволяют мне его подробно изложить."

Нескольким ученым удалось подтвердить верность предположения Ферма, которое заключается в отсутствии простого решения для уравнений вида 32 + 42 = 52, где n > 2 и n - целое число. Из различных источников стало известно, что Ферма сам доказал отсутствие решения для случая n = 4. Также в его корреспонденции с другими учеными упоминается доказательство для n = 3, однако письма, в которых оно содержится, не удалось обнаружить.

Изначальная идея, предложенная Фермой относительно простых чисел, приобрела широкую известность после того, как его сын Самюэль в 1670 году опубликовал книгу "Арифметика", в которой привел комментарии своего отца. Это доказательство требовало более 350 лет упорного исследования. Без преувеличения можно говорить, что сотни математиков пытались доказать утверждение Ферма, и лишь в 1993 году Эндрю Уайлс смог добиться успеха в этом нелегком деле.

Интересно отметить, что Великая теория Ферма, несмотря на отсутствие явной практической ценности, всегда вызывала ажиотаж у множества математиков. Это в свою очередь существенно способствовало прогрессу в развитии математической теории. Помимо легендарной и иногда называемой "Последней" теоремы Ферма, необходимо упомянуть об одной другой не менее значимой теореме – малой, которая также играет важную роль в математическом развитии.

Одним из известных рассуждений, которые Ферма описал в письме к своему другу в 1640 году, является Малая теорема Ферма. Суть этой теоремы заключается в том, что если целое число п не делится на простое число р, то п в степени р минус 1 делится на число р.

Докажение данной теоремы не отняло так много времени и усилий, как в случае с предшествующей, но ее вклад в развитие математического мышления является бесценным. В настоящее время она является одной из ключевых теорем в элементарной теории чисел, криптографии и современной алгебре.

Загадочная Великая теорема Ферма оставила и самого автора в недоумении, не раскрывая свою подлинную сущность. Возможно, ценные записи были утеряны, хотя, скорее всего, Ферма сознательно не считал нужным их оставлять.

Однако объяснение утверждения, представленное на полях книги "Арифметика", может показаться непонятным для нас из-за его краткости. Однако, если учесть контекст, в котором Ферма развивал свои идеи, все станет яснее. В течение своей жизни он активно взаимодействовал с другими учеными и любителями математики, и их переписка была в форме долгих и логически составленных писем. В таком обществе понимание было возможно уже с полуслова, поэтому не было необходимости в излишней многословности.

Ферма не предложил детальное объяснение своей теоремы по нескольким причинам. Во-первых, он не был профессиональным математиком, в отличие от Рене Декарта и Франсуа Виета. Он не стремился к получению признания в этой сфере, за исключением одобрения со стороны своих друзей и единомышленников, которое он уже получил. Тем не менее, Ферма осознавал уникальность своих идей и подходов, а также то, что его методы мышления оказывают помощь другим математикам.

Ферма, увлеченный изучением теории простых чисел, пришел к осознанию, что натуральные числа имеют ограничения и не являются бесконечными. Он полагал, что открытый им метод будет иметь общее применение и поможет в доказательстве любых теорем, связанных с натуральными числами. Однако, действительность оказалась отличной от его рассуждений. Ферма ошибся в своих предположениях о универсальности метода, которые затронули наших ученых в течение более трех столетий для его опровержения.

В 1990-х годах уже были достигнуты доказательства теоремы Ферма для различных показателей, включая предельное значение в 4 000 000. Однако, ученые непрерывно искали показатель, при котором гипотеза Ферма оказалась бы неверной.

В 1993 году, выдающийся математик Эндрю Уайлс из Принстонского университета, осуществил свою долгожданную мечту, которая зародилась в его десятилетнем возрасте – он доказал теорему, ставшую на протяжении многих лет объектом жажданных попыток различных ученых подтвердить теорему Ферма. С особым упорством Уайлс на протяжении длительного времени наблюдал за различными методами, предпринимаемыми другими исследователями в работе над этой теоремой. Однако в 1986 году он принял решение оставить все свои текущие проекты, полностью посвятить себя доказательству этой сложной теории, на что потребовалось целых 7 лет.

С применением сложных вычислительных методов он представил свое доказательство. Его исследование основывалось на работах выдающихся математиков из разнообразных областей. Теорема Ферма является сложной головоломкой, решение которой удалось достичь только благодаря постепенному совмещению различных методов и подходов. С написанием тысяч страниц Уайлсу удалось доказать Великую теорему Ферма.

Уайлс последовательно исследовал множество подходов в своем упорном пути к поиску уникального метода доказательства. В начале своих исследований он тщательно анализировал эллиптические функции и модулярные эллиптические функции, которые оказались неисчерпаемыми. В результате этого анализа стало ясно, что вычисления этих функций эквивалентны. Хотя эта стратегия была неэффективной, она помогла Уайлсу понять в каком направлении двигаться. Исследования также позволили ему понять, что вместо доказательства гипотезы Таниямы-Симуры для эллиптических кривых, достаточно доказать эту гипотезу только для полустабильных кривых.

Затем он обратил свое внимание на теорию Галуа, которая послужила ему инструментом в выявлении эллиптических уравнений и доказательстве возможности их связи с модулярными формами. Благодаря этому Уайлсу удалось переосмыслить поставленную задачу с использованием более гибких и универсальных концепций. Однако, это был лишь первый шаг, который потребовал двухлетнего напряженного труда.

В дальнейшем он сделал попытку решить данную теорему, применяя теорию Ивасавы, однако обнаружил, что эта теория недостаточна. В своей работе Уайлс обратился к инструментам системы Эйлера, чтобы дополнить свои исследования. Тем не менее, после некоторого времени он смог осознать, что самым оптимальным подходом является подход, разработанный Колывагиным и Флахом. И здесь его новая тактика начала приносить желаемые результаты.

В 1993 году Уайлс вступил в коллаборацию с другом Ником Кацем, чтобы решить теорему, и они обнаружили, что они могут использовать новый университетский курс "Вычисления на эллиптических кривых", чтобы поэтапно представить доказательство теоремы Ферма. В рамках этого курса различные этапы доказательства были тщательно проверены.

В июне 1993 года на конференции в Кембридже Уайлс представил окончательные результаты своих исследований и впервые продемонстрировал публичное доказательство. Этому процессу он уделил целых три часа, а его рукопись заполняла 200 страниц. На следующем этапе комитет экспертов подтвердил правильность решения задачи после небольших уточнений, и в 1995 году теорема Ферма была официально доказана.

Конечно, нельзя не упомянуть ученого-самоучку Пьера Ферма, чей неоценимый вклад в историю математики невозможно недооценить. Его скромный образ жизни и ограниченный круг общения не позволили ученым оценить все его идеи до его смерти. Но благодаря отцу Сэмюелю, который начал публиковать наброски и размышления Пьера Ферма в 1870 году, наследие ученого наконец нашло свое признание.

Ферма и его исследования существенно способствовали развитию новых математических теорий. Одной из ярких сторон его таланта был креативный подход и способность выходить за рамки одной дисциплины: Ферма успешно применял алгебраические методы в геометрических задачах, что явилось фундаментом для развития аналитической геометрии. Таким образом, можно утверждать, что Ферма вместе с Декартом оказал значительное влияние на становление аналитической геометрии и важно отметить, что его переписка с Паскалем поставила начало теории вероятности.

Такие были гениальные и оригинальные идеи и подходы Пьера Ферма, что его размышления и интерпретации задач оказали значительное влияние на выдающихся умов своего времени, включая Ньютона и Галилея. Столь высоко Ферма был оценен другим французским математиком Мареном Мерсенном, который в своей книге "Универсальная гармония" прозвал его полноценным гением в области математики.

Если вам интересно развить мышление, научиться лучше понимать абстракции, мастерски запоминать длинные формулы, замечать закономерности и генерировать новые идеи, то мы приглашаем вас ознакомиться с нашими программами «Мнемотехники» и «ТРИЗ на практике». Хотя они не напрямую связаны с математикой, представленная в них информация, упражнения и задания идеально подходят для развития интеллекта. А улучшить свой уровень интеллекта всегда полезно, ведь его можно применять в любой области.

Желаем удачи и до встречи на уроках наших курсов!